Question

8．如图，在正△ABC底边BC上任取一点D，以BD、CD为边分别向外作正△BDE，正△CDF，设三个正三角形的中心分别为G、K、H，求证：△GKH也为正三角形．

Answer 1

分析 连接BG，GC，BK，KD，DH，HC，将△GHC绕着点G顺时针旋转120°，由点G是△ABC的中心，得到∠GBC=∠GCB=30°，于是得到∠BGC=120°，推出CG与BG重合，证得△BH′K≌△KDH，得到H′K=KH，由于△GH′K≌△GKH，于是推出GK=GH，∠H′GK=∠KGH，由于∠H′GH=120°，得到∠KGH=60°，于是得到结论．

解答 证明：连接BG，GC，BK，KD，DH，HC，将△GHC绕着点G顺时针旋转120°，
∵点G是△ABC的中心，
∴∠GBC=∠GCB=30°，
∴∠BGC=120°，
∴CG与BG重合，
∴∠H′BK=∠HDK=120°，BH′=CH=DH，KD=BK，
在△BH′K与△DKH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH′=DH}\\{∠H′BK=∠KDH}\\{BK=DK}\end{array}\right.$，
∴△BH′K≌△KDH，
∴H′K=KH，
在△GH′K与△GKH中，
$\left\{\begin{array}{l}{GH′=GH}\\{H′K=KH}\\{GK=GK}\end{array}\right.$，
∴△GH′K≌△GKH，
∴GK=GH，∠H′GK=∠KGH，
∵∠H′GH=120°，
∴∠KGH=60°，
∴△KGH是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．