Question

如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是BC边上的中线，CE⊥AD于E，CE延长线交AB于F．求：
（1）

AE

DE

的值；
（2）tan∠BAD的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）由条件可证得△CED∽△AEC，可得到

AE

DE

=

AC

CD

=2；
（2）过D作DG⊥AB于点G，设BD=a，则BC=AC=2a，AB=2

2

a，利用面积相等可求得DG，且DG=BG，可求得AG，可求得∠BAD的正切值．

解答：解：
（1）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，
∴∠AEC=∠ACD=90°，
∴∠ECD+∠EDC=∠CAE+∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠CAE，
∴△AEC∽△CED，
∵D为BC中点，
∴AC=2CD，
∴

AE

DE

=

AC

CD

=2；
（2）过D作DG⊥AB于点G，设BD=a，则BC=AC=2a，AB=2

2

a，
∵BD=CD，
∴S_△ACD=S_△ABD，
∴AC•CD=AB•DG，即2a•a=2

2

a•DG，
∴DG=BG=

2

2

a，
∴AG=AB-BG=2

2

a-

2

2

a=

3 2

2

a，
∴tan∠BAD=

DG

AG

=

2 a 2

3 2 a 2

=

1

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意方程思想和等积法的应用．