Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E为AC下方一点，AE∥BC且CE⊥CD于点C．
（1）若AC=6，BC=8，求CD的长；
（2）过点D作FD∥EC，交EA延长线于点F，连接CF，求证：EF+AF=BC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据勾股定理可求得AB的长，再根据直角三角形斜边中线是斜边一半可以求得CD的长；
（2）延长FD交BC于点G，易证△ADF≌△BDG和△CFG≌△FCA，可得AF=BG和EF=CG即可解题．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

BC2+AC2

=10，
∵点D为AB的中点，
∴CD=

1

2

AB=5；
（2）延长FD交BC于点G，

∵EF∥BC，
∴∠FAD=∠GBD，
在△ADF和△BDG中，

∠FAD=∠GBD AD=BD ∠ADF=∠BDG

，
∴△ADF≌△BDG，（ASA）
∴AF=BG，
∵EF∥BC，DF∥CE，
∴∠CFE=∠BCF，∠CFD=∠FCE，
在△CFG和△FCA中，

∠CFE=∠BCF CF=FC ∠CFD=∠FCE

，
∴△CFG≌△FCA（ASA），
∴EF=CG，
∵BC=BG+CG，
∴BC=EF+AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了斜边中线是斜边一半的性质，本题中求证△ADF≌△BDG和△CFG≌△FCA是解题的关键．