Question

如图，直线l₁：y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

（k＞0）相交于A、B两点，x_A=4．
（1）求双曲线的解析式；
（2）点C在双曲线上，y_C=8，求△CBA的面积；
（3）直线l₂：y=mx与双曲线相交于P、Q两点（x_P＞0），当以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积等于24时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）将x_A=4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）过B作y轴的垂线l，过点C、A分别作x轴的垂线，与直线l分别交于点D、E．先将y=

1

2

x代入y=

8

x

，求出B的坐标，将y_C=8代入反比例解析式，求出C点坐标，再由S_△CBA=S_△CBD+S_梯形AEDC-S_△ABE，将数值代入计算即可求解；
（3）设P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，分四种情况考虑：若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，由四边形APBQ面积为24，且为平行四边形，得到三角形AOP面积为6，根据三角形POM面积+梯形ANMP面积-三角形AON面积，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出此时P的坐标；若交点P在第三象限，Q在第一象限，利用对称性求出P的坐标即可；若P在A的右侧，同理可得P的坐标；若交点P在第三象限，Q在第一象限，利用对称性求出P的坐标．

解答：解：（1）将x_A=4代入y=

1

2

x=2，即A（4，2），
将A（4，2）代入反比例解析式得：k=8，
所以双曲线的解析式为y=

8

x

；

（2）如图1，过B作y轴的垂线l，过点C、A分别作x轴的垂线，与直线l分别交于点D、E．
将y=

1

2

x代入y=

8

x

，得

1

2

x=

8

x

，
解得x=±4，
当x=4时，y=2；当x=-4时，y=-2，
∵A（4，2），
∴B（-4，-2）．
将y_C=8代入反比例解析式得：x=1，即C（1，8），
∴BD=5，BE=8，CD=10，AE=4．
∴S_△CBA=S_△CBD+S_梯形AEDC-S_△ABE=

1

2

×5×10+

1

2

×（4+10）×3-

1

2

×8×4=30；

（3）设P（x，

8

x

），即OM=x，PM=

8

x

，
若P在A的左侧，如图2所示，作PM⊥x轴于M，AN⊥x轴于N，
∵由点A、B、P、Q为顶点的四边形面积为24，OP=OQ，OA=OB，即四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△AOP=S_△POM+S_梯形ANMP-S_△AON=

1

4

×24=6，即

1

2

x•

8

x

+

1

2

×（4-x）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=2，即P（2，4）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P（-2，-4）；
若P在A的右侧，同理可得4+

1

2

×（x-4）×（2+

8

x

）-4=6，
解得：x=8，此时P坐标为（8，1）；
若交点P在第三象限，Q在第一象限，此时P坐标为（-8，-1），
综上，P点坐标为（2，4）或（-2，-4）或（8，1）或（-8，-1）．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形性质，三角形、梯形的面积，以及待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．