Question

如图1，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，1），C为x轴正半轴上一点，且AC平分∠OAB．
（1）求证：∠OAC=∠OCA；
（2）如图2，若分别作∠AOC的三等分线及∠OCA的外角的三等分线交于点P，即满足∠POC=

1

3

∠AOC，∠PCE=

1

3

∠ACE，求∠P的大小；
（3）如图3，在（2）中，若射线OP、OC满足∠POC=

1

n

∠AOC，∠PCE=

1

n

∠ACE，猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）

Answer 1

考点：三角形内角和定理,坐标与图形性质,平行线的判定与性质,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据AB坐标可以求得∠OAB大小，根据角平分线性质可求得∠OAC大小，即可解题；
（2）根据题干中给出的∠POC=

1

3

∠AOC、∠PCE=

1

3

∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题；
（3）解法和（2）相同，根据题干中给出的∠POC=

1

n

∠AOC、∠PCE=

1

n

∠ACE可以求得∠PCE和∠POC的大小，再根据三角形外角等于不相邻两内角和即可解题．

解答：解：（1）∵A（0，1），B（4，1），
∴AB∥CO，
∴∠OAB=90°，
∵AC平分∠OAB．
∴∠OAC=45°，
∴∠OCA=90°-45°=45°，
∴∠OAC=∠OCA；
（2）∵∠POC=

1

3

∠AOC，∴∠POC=

1

3

×90°=30°，
∵∠PCE=

1

3

∠ACE，∴∠PCE=

1

3

（180°-45°）=45°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE-∠POC=15°；
（3）∵∠POC=

1

n

∠AOC，∴∠POC=

1

n

×90°=

90

n

°，
∵∠PCE=

1

n

∠ACE，∴∠PCE=

1

n

（180°-45°）=

135

n

°，
∵∠P+∠POC=∠PCE，
∴∠P=∠PCE-∠POC=

45

n

°．

点评：本题考查了三角形内角和为180°的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角和的性质，本题中求∠PCE和∠POC的大小是解题的关键．