Question

16．如图，已知正方形ABCD的边长为3cm，以CD为边向CD的两旁分别作等边△PCD和等边△QCD．
（1）四边形CPDQ是菱形吗？说明理由；
（2）求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出CQ=QD=CD=PD=CP，即可得出结论；
（2）由（1）得出△PDQ是等腰三角形，且DC垂直平分PQ，由垂直平分线的性质易得DE、DQ的值，进而在RT△DEQ中，由勾股定理可求得QE的值，可得答案．

解答 （1）证明：四边形CPDQ是菱形；理由如下：
∵正方形ABCD的边长为3cm，
∴CD=3cm，
∵△PCD和△QCD是等边三角形，
∴CQ=QD=CD=PD=CP，
∴四边形CPDQ是菱形；
（2）解：由（1）得：△PDQ是等腰三角形，且DC垂直平分PQ，
∴DE=$\frac{1}{2}$CD=1.5cm，DQ=3cm；
在Rt△DEQ中，QE=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴PQ=2QE=3$\sqrt{3}$（cm）．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的性质、正方形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，由勾股定理求出QE是解决问题（2）的关键．