Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）P的坐标为（，﹣）或（4 ，6）或（，﹣）或（0，0）；（3）Q（3，0）或（﹣2，15）．

【解析】

（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；
（2）设P坐标为（x，x2-x），表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x的值，即可确定出P坐标；
（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h，与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可．

（1）把A（，﹣3）和点B（3，0）代入抛物线得：，

解得：a=，b=﹣，

则抛物线解析式为y=x2﹣x；

（2）当P在直线AD上方时，

设P坐标为（x， x2﹣x），则有AD=x﹣，PD=x2﹣x+3，

当△OCA∽△ADP时，，即，

整理得：3x2﹣9x+18=2x﹣6，即3x2﹣11x+24=0，

解得：x=，即x=或x=（舍去），

此时P（，﹣）；

当△OCA∽△PDA时，，即，

整理得： x2﹣9x+6=6x﹣6，即x2﹣5x+12=0，

解得：x=，即x=4或（舍去），

此时P（4，6）；

当点P（0，0）时，也满足△OCA∽△PDA；

当P在直线AD下方时，同理可得：P的坐标为（，﹣），

综上，P的坐标为（，﹣）或（4，6）或（，﹣）或（0，0）；

（3）在Rt△AOC中，OC=3，AC=，

根据勾股定理得：OA=2，

∵OCAC=OAh，

∴h=，

∵S△AOC=S△AOQ=，

∴△AOQ边OA上的高为，

过O作OM⊥OA，截取OM=，过M作MN∥OA，交y轴于点N，如图所示：

在Rt△OMN中，ON=2OM=9，即N（0，9），

过M作MH⊥x轴，

在Rt△OMH中，MH=OM=，OH=OM=，即M（，），

设直线MN解析式为y=kx+9，

把M坐标代入得： =k+9，即k=﹣，即y=﹣x+9，

联立得：，

解得：或，即Q（3，0）或（﹣2，15），

则抛物线上存在点Q，使得S△AOC=S△AOQ，此时点Q的坐标为（3，0）或（﹣2，15）．