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【题目】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交AC 于点 E.

(1)判断 BE △DCE 的外接圆⊙O 的位置关系,并说明理由;

(2) BE=,BD=1,求△DCE 的外接圆⊙O 的直径.

【答案】(1)见解析;(2)△DCE的外接圆的直径是2.

【解析】

(1)连接OE,由DEAC的垂直平分线,得到BE=CE,根据等腰三角形的性质得到∠EBC=C=30°,由三角形的内角和得到∠BEC=120°,由OE=OC,得到∠OEC=C=30°,求得∠BEO=90°,根据切线的判定定理即可得到结论;

(2)根据切割线定理得到BE2=BDBC,代入数据即可得到结论.

(1)连接OE,

DE是AC的垂直平分线,

∴BE=CE,

∴∠EBC=∠C=30°,

∴∠BEC=120°,

∵OE=OC,

∴∠OEC=∠C=30°,

∴∠BEO=90°,

BE是O的切线;

(2)∵BE是O的切线,

∴BE2=BDBC,

即(2=1BC,

∴BC=3,

∴CD=2,

∴△DCE的外接圆的直径是2.

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