【题目】已知:直线,为图形内一点,连接,.
(1)如图①,写出,,之间的等量关系,并证明你的结论;
(2)如图②,请直接写出,,之间的关系式;
(3)你还能就本题作出什么新的猜想?请画图并写出你的结论(不必证明).
【答案】(1),见解析;(2);(3),见解析
【解析】
(1)如图①,延长交于点,根据两直线平行,内错角相等可得,再根据三角形外角的性质即可得解;
(2)如图②中,过P作PG∥AB,利用平行线的性质即可解决问题;
(3) 如图③,在利用外角的性质以及两直线平行,内错角相等的性质,即可得出.
证明:(1)如图①,延长交于点.
在中则有.
(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又,
(两直线平行,内错角相等)
.
.
(图①) (图②)
(2)如图②中,过P作PG∥AB,
∵AB//CD
∴PG//CD
∵AB//PG
∴∠ABP+∠BPG=180°
∵PG//CD
∴∠GPD+∠PDC=180°
∴∠ABP+∠BPG +∠GPD+∠PDC =360°
∴
故答案为:.
(3)如图③.证明如下:
(图③)
在中则有.(三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
又,
(两直线平行,内错角相等)
.
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【题目】如图,已知抛物线经过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点。
(1)求抛物线的解析式。
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长。
(3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由。
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c均是常数)经过点O(0,0),A(4,4),与x轴的另一交点为点B,且抛物线对称轴与线段OA交于点P.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)过点P作x轴的平行线l,若点Q是直线上的动点,连接QB.
①若点O关于直线QB的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,求点Q的坐标;
②若点O关于直线QB的对称点为点D,当线段AD的长最短时,求点Q的坐标(直接写出答案即可).
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【题目】如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC 的垂直平分线交 BC 于点 D,交AC 于点 E.
(1)判断 BE 与△DCE 的外接圆⊙O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 BE=,BD=1,求△DCE 的外接圆⊙O 的直径.
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【题目】如图,矩形OABC的边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上,B点的坐标为(1,3).矩形O'A'BC'是矩形OABC绕B点逆时针旋转得到的.O'点恰好在x轴的正半轴上, O'C'交AB于点D.
(1)求点O'的坐标,并判断△O'DB的形状(要说明理由)
(2)求边C'O'所在直线的解析式.
(3)延长BA到M使AM=1,在(2)中求得的直线上是否存在点P,使得ΔPOM是以线段OM为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向海里的C处,为了防止某国还巡警干扰,就请求我A处的鱼监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=12cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度均为1cm/s.以AQ、PQ为边作AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤6).解答下列问题:
(1)当t为何值时,AQPD为矩形.
(2)当t为何值时,AQPD为菱形.
(3)是否存在某一时刻t,使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.
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【题目】△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上的一点,AD=AB,且∠ACB=2∠D,CD=2(如图1)
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)AD= ;
(3)若点E是⊙O上的一点,AE与BC交于点F,且点E等分半圆BC时(如图2),求CF的长.
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【题目】如图, 为等边三形内的一点, ,将线段以点为旋转中心逆时针旋转60°得到线段,下列结论:①点与点的距离为5;②;③可以由绕点进时针旋转60°得到;④点到的距离为3;⑤,其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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