Question

8．如图，⊙O的圆心在Rt△ABC的直角边AC上，⊙O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连结BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，连结DF．
（1）求证：CO•CD=DE•BO；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠DFE=$\frac{3}{5}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接CE，证明△CBO∽△DEC，得到OC•CD=DE•BO；
（2）根据垂径定理，EF=2EG，所以求出EG的长即得解．连接CE，则∠CED=90°，∠ECD=∠F．CD=10．根据三角函数可求EG得解．

解答 解：（1）证明；连接CE，
∵CD为⊙O的直径，
∠CED=90°，
∵∠BCA=90°，
∴∠CED=∠BCA，
∵BC∥DE，
∴∠BOC=∠CED，
∴△CBO∽△DEC，
∴$\frac{OC}{DE}$=$\frac{BO}{CD}$，
∴OC•CD=DE•BO；

（2）∵∠F=∠ECO，CD=2•OC=10；
由于CD为⊙O的直径，
∴在Rt△CDE中有：
ED=CD•sin∠ECO=CD•sin∠DFE=CE=$\sqrt{{CD}^{2}{-ED}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}$=8，
在Rt△CEG中，$\frac{EG}{CE}$=sin∠ECO=$\frac{3}{5}$，
∴EG=$\frac{3}{5}$×8=$\frac{24}{5}$，
根据垂径定理得：EF=2EG=$\frac{48}{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理及解直角三角形等知识点，综合性很强，难度较大．