Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，梯形ABCD是等腰梯形吗？

Answer 1

考点：等腰梯形的判定

专题：

分析：过E作EM∥AB交BC于M，作EN∥CD交BC于N，得出四边形ABME和四边形ENCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AB=EM，CD=EN，AE=BM，DE=CN，求出FM=FN，证△EFM≌△EFN，推出EM=EN，求出AB=CD即可．

解答：解：四边形ABCD是等腰梯形，
理由是：过E作EM∥AB交BC于M，作EN∥CD交BC于N，
∵AD∥BC，
∴四边形ABME和四边形ENCD是平行四边形，
∴AB=EM，CD=EN，AE=BM，DE=CN，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE=DE，BF=CF，
∴FM=FN，
∵EF⊥BC，
∴∠EFM=∠EFN=90°，
在△EFM和△EFN中

EF=EF ∠EFM=∠EFN FM=FN

∴△EFM≌△EFN（SAS），
∴EM=EN，
∵AB=EM，CD=EN，
∴AB=CD，
∵四边形ABCD是梯形，
∴四边形ABCD是等腰梯形．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰梯形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步推出AB=CD，注意：两腰相等的梯形是等腰梯形．