Question

如图直角坐标系中，已知A（-8，0），B（0，6），点M在线段AB上．
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；
（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=

3

4

x+6，设M（a，-a），把x=a，y=-a代入y=

3

4

x+6得出关于a的方程，求出即可．

解答：解：（1）直线OB与⊙M相切，
理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，

∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．
∴∠AOB=∠MDB=90°，
∴MD⊥OB，点D在⊙M上，
又∵点D在直线OB上，
∴直线OB与⊙M相切；

，
（2）解：连接ME，MF，如图2，

∵A（-8，0），B（0，6），
∴设直线AB的解析式是y=kx+b，
∴

0=-8k+b 6=b

，
解得：k=

3

4

，b=6，
即直线AB的函数关系式是y=

3

4

x+6，
∵⊙M与x轴、y轴都相切，
∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，
设M（a，-a）（-8＜a＜0），
把x=a，y=-a代入y=

3

4

x+6，
得-a=

3

4

a+6，得a=-

24

7

，
∴点M的坐标为（-

24

7

，

24

7

）．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是，当d=r时，直线l和⊙O相切．