Question

如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的一边与直线CD交于E，分别过B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
（1）当点E在DC延长线时，如图①，求证：BF=DG-FG；
（2）将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③，此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论（不必证明）

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）如图①，由四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的关系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF-FG；即可证得BF=DG-FG；
（2）如图②，由四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的关系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=AF+FG，可得BF=DG+FG；如图③，由四边形ABCD是正方形，可得AB=AD，由B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．可得∠AFB=∠DGA=90°由角的关系可得∠ABF=∠GAD，可得△ABF≌△ADG可得BF=AG，AF=DG，利用AG=FG-AF，可得BF=FG-DG．

解答：证明：（1）如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠GAD，
在△ABF和△ADG中，

∠AFB=∠DGA ∠ABF=∠DAG AB=AD

，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF-FG；
∴BF=DG-FG；
（2）如图②，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，

∠AFB=∠DGA ∠ABF=∠DAG AB=AD

，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF+FG；
∴BF=DG+FG；
如图③，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，

∠AFB=∠DGA ∠ABF=∠DAG AB=AD

，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=FG-AF；
∴BF=FG-DG．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是得出△ABF≌△ADG．