Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n、B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值是

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：规律型

分析：首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，进而求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值．

解答：解：令y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0，
即x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0，
解得x=

1

n

或x=

1

n+1

，
故抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴的交点为（

1

n

，0），（

1

n+1

，0），
由题意得A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，
则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2015

-

1

2016

=1-

1

2016

=

2015

2016

，
故答案为

2015

2016

．

点评：本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是用n表示出抛物线与x轴的两个交点坐标，此题难度不大．