Question

【题目】如图，是半圆的直径，点是半圆上的一个动点，的角平分线交圆弧于点，过点作于点．

（1）求证：是半圆的切线；

（2）填空：①若，则__________；

②连接、，当的度数为__________时，四边形是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①2；②

【解析】

（1）连接OD，根据角平分线的定义和已知以及平行线的判定得到OD∥AE，即∠ODE=∠E=90，即可证明；

（2）①作DG⊥AB于G，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADE与△ABD的面积比，根据三角形的面积公式计算即可；②根据菱形的判定定理和等边三角形的性质解答即．

（1）证明：如图１，连接OD

∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠EAD=∠DAB，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠EAD=∠ODA，

∴OD∥AE，

∴∠ODE＝∠E=90°

∴是半圆的切线；

（2）①如图2，作DG⊥AB于G

∵AD是∠BAC的角平分线，∠E=90°，DG⊥AB，

∴DE=DG，∠EAD=∠DAB，

∵∠ODE＝∠E=90°,

∵△ADE∽△ABD，

∵

∴△ADE与△ABD的面积比为3：4，即

∴AE:AB=3：4；

②如图3，当四边形BDCO是天菱形时，

∴BD=OC=CD=OB，CD∥OB，

当CD∥OB时,BD=AC

∴△AOC为等边三角形

∴当∠BAC=60°时，四边形BDCO是菱形．

故答案为：①3：4；②60°.