Question

已知，如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=kBC，P为AB上一点，作∠EPF=90°，分别交AC、CB的延长线于E、F两点．若PA=mPB，试判断PE、PF的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：作PN⊥BC，PM⊥AC，垂足分别为N、M，利用平行线分线段成比例可得

PM

BC

=

AP

AB

，

PN

AC

=

BP

AB

 两式相除可得到

PM

PN

=

k

m

，结合条件可证明△EMP∽△FNP，可得到

PE

PF

=

PM

PN

，可得出结论．

解答：解：
作PN⊥BC，PM⊥AC，垂足分别为N、M，
∵∠ACB=90，
∴PM∥BC，
∴

PM

BC

=

AP

AB

          ①，
同理可得

PN

AC

=

BP

AB

     ②，
①÷②可得

PM

PN

=

BC

AC

•

AP

PB

∵AC=kBC，PA=mPB，
∴

PM

PN

=

m

k

，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
∴△EMP∽△FNP，
∴

PE

PF

=

PM

PN

=

m

k

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，构造三角形相似得到线段之间的比例关系是解题的关键，注意平行线分线段成比例性质的运用．