Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E时的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．

（1）求证：AB＝BC；

（2）如果AB＝10．tan∠FAC＝，求FC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）FC＝．

【解析】

（1）连接EB，可得BE⊥AC，∠ABE＝∠CBE，再证ABECBE，即可得到结论；

（2）易得∠FAC＝∠ABE，从而得＝，设AE＝x，则BE＝2x，可得AC＝4，BE＝4，作CH⊥AF于点H，易证Rt△ACH∽Rt△BAE，可得HC＝4，AH＝8，由HC∥AB，得＝，进而即可求解．

（1）连接EB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵点E为AD弧的中点，

∴∠ABE＝∠CBE，

在ABE与CBE中，

∵，

∴ABECBE（ASA），

∴BA＝BC；

（2）∵AF为切线，

∴AF⊥AB，

∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABE＝90°，

∴∠FAC＝∠ABE，

∴tan∠ABE＝tan∠FAC＝，

∵在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，

∴设AE＝x，则BE＝2x，

∴AB＝x，即x＝10，解得：x＝2，

∴ABECBE，

∴AC＝2AE＝4，BE＝4，

作CH⊥AF于点H，

∵∠HAC＝∠ABE，

∴Rt△ACH∽Rt△BAE，

∴＝＝，即＝＝，

∴HC＝4，AH＝8，

∵HC∥AB，

∴＝，即＝，

解得：FC＝．