Question

15．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，BC边上的中点，G，H是AC的三等分点，EG，FH的延长线交于点D．求证：①DG：EG=2：1；②四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析 ②连接BD交AC于O，连结BG，BH，首先证得四边形BHDG是平行四边形得到AO=OC，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可．
①由平行四边形的性质得出AB=CD=2AE，AB∥CD，证出△CDG∽△AEG，得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 证明：②连接BD交AC于O，连结BG，BH，如图所示：
∵E是AB中点，AG=GH
∴AE=BE，EG是△ABH的一条中位线，
∴EG∥BH，即GD∥BH，
同理可证BG∥DH，
∴四边形BHDG是平行四边形．
∴BO=OD，GO=OH，
又∵AG=HC，
∴AG+GO=HC+OH，
即AO=OC，
又∵BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2AE，AB∥CD，
∴△CDG∽△AEG，
∴DG：EG=CD：AE=2：1．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．