Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，点E为BC上一点，且CD=CE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）若AD=6，DC=3，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，求出∠DCA=∠ECA，根据SAS推出△DCA≌△ECA，根据全等得出∠D=∠CEA，即可得出答案；
（2）根据全等得出AE=AD=6，设AB=x，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答 （1）证明：
连接AC，
∵AB=BC，
∴∠ECA=∠BAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠ECA，
在△DCA和△ECA中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CA}\\{∠DCA=∠ECA}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△DCA≌△ECA（SAS），
∴∠D=∠CEA，
∵AD⊥DC，
∴∠D=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AE⊥BC；

（2）解：∵△DCA≌△ECA，
∴AE=AD=6，
设AB=x，
∵DC=CE=3，
∴在Rt△BEA中，由勾股定理得：AB²=BE²+AE²，
∵AB=BC，
∴x²=（x-3）²+6²，
解得：x=7.5，
即AB=7.5．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能推出△DCA≌△ECA是解此题的关键．