Question

15．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12，AD=4，BC=9，点P是AB上一动点．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．

解答 解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．
设AP的长为x，则BP长为12-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，
即x：（12-x）=4：9，
解得：x=$\frac{48}{13}$；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，
即x：9=4：（12-x），
解得：x=6．
∴满足条件的点P的个数是2个，
故选：B．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．