Question

15．两个都以O为圆心的同心圆，大圆的半径为1，小圆的半径为0.8，在大圆上取三点A、B、C，使∠ACB=30°．试判断小圆与直线AB的位置关系，并给予证明．

Answer 1

分析 如图，连接OA、OB，作OD⊥AB于D，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=60°，则可判断△OAB为等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理得出OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$0.8，而小圆的半径为0.8，即可得出小圆与直线AB的位置关系是相离．

解答 解：直线AB与小圆相离；理由如下：
如图所示：连接OA、OB，作OD⊥AB于D，
则OA=OB=1，AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠ODA=90°，
∵∠AOB=2∠ACB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴AD=$\frac{1}{2}$，
∴OD=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0.8，
即圆心O到直线AB的距离大于小圆半径，
∴直线AB与小圆相离．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r；由题意求出OD是解题的关键．