【题目】如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D为BC的中点,AB =DE,BE∥AC.
(1)求证:△ABC≌△DEB;
(2)连结AD、AE、CE,如图2.
①求证:CE是∠ACB的角平分线;
②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;②△ABE是等腰三角形,理由详见解析.
【解析】
(1)由AC//BE,∠ACB=90°可得∠DBE=90°,由AC=BC,D是BC中点可得AC=BD,利用HL即可证明△ABC≌△DEB;(2)①由(1)得BE=BC,由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°,进而可得∠ACE=45°,即可得答案;②根据SAS可证明△ACE≌△DCE,可得AE=DE,由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.
(1)∵∠ACB=90°,BE∥AC
∴∠CBE=90°
∴△ABC和△DEB都是直角三角形
∵AC=BC,点D为BC的中点
∴AC=BD
又∵AB=DE
∴△ABC≌△DEB(H.L.)
(2)①由(1)得:△ABC≌△DEB
∴BC=EB
又∵∠CBE=90°
∴∠BCE=45°
∴∠ACE=90°-45°=45°
∴∠BCE=∠ACE
∴CE是∠ACB的角平分线
②△ABE是等腰三角形,理由如下:
在△ACE和△DCE中
∴△ACE≌△DCE(SAS).
∴AE=DE
又∵AB=DE
∴AE=AB
∴△ABE是等腰三角形
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【题目】已知:如图,BD为△ABC的的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以1.5cm/s的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,则经过_____秒后,点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇?(在横线上直接写出答案,不必书写解题过程)
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【题目】如图,点 A,C 是数轴上的点,点 A 在原点上,AC=10.动点 P,Q 网时分别从 A,C 出发沿数轴正方向运动,速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度,点 M 是 AP 的中点,点 N 是 CQ 的中点.设运动时间为t秒(t>0)
(1) 点C表示的数是______ ;点P表示的数是______,点Q表示的数是________(点P.点 Q 表示的数用含 t 的式子表示)
(2) 求 MN 的长;
(3) 求 t 为何值时,点P与点Q相距7个单位长度?
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【题目】如图1,已知正方形ABCD的边长为5,点E在边AB上,AE=3,延长DA至点F,使AF=AE,连结EF.将△AEF绕点A顺时针旋转(0°<<90°),如图2所示,连结DE、BF.
(1)请直接写出DE的取值范围:_______________________;
(2)试探究DE与BF的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)当DE=4时,求四边形EBCD的面积.
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【题目】已知下列关于的分式方程:
方程1. , 方程2. , 方程3. , ……,方程n,
【1】填空:分式方程1的解为 ,分式方程2的解为 ;
【2】解分式方程3;
【3】根据上述方程的规律及解的特点,直接写出方程n及它的解.
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【题目】已知y是x 的函数,自变量x的取值范围是x >0,下表是y与x 的几组对应值.
x | ··· | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | ··· |
y | ··· | 1.98 | 3.95 | 2.63 | 1.58 | 1.13 | 0.88 | ··· |
小腾根据学习一次函数的经验,利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行了探究.
下面是小腾的探究过程,请补充完整:
(1)如图,在平面直角坐标系中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;
(2)根据画出的函数图象,写出:
①x=4对应的函数值y约为________;
②该函数的一条性质:__________________.
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