Question

13．已知方程2x²+x-$\frac{1}{2}$=0的两根为x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$，方程2x²+2x-2=0的两根为x=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，方程2x²+3x-$\frac{9}{2}$=0的两根为x=$\frac{-3±3\sqrt{5}}{4}$．
（1）方程2x²+4x-8=0的两根为x=-1±$\sqrt{5}$．
（2）依此类推，若ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，则方程ax²+kbx+k²c=0的两根为kx₁，kx₂（k为正整数）
（3）证明（2）中的结论．

Answer 1

分析 （1）研究给定条件里面的规律，可以得出：2x²+nx-$\frac{{n}^{2}}{2}$=0，（n∈N）的两根为x=$\frac{n（-1±\sqrt{5}）}{4}$，代入n=4，此题得以解决；
（2）借助（1）的规律与结论，得出推断；
（3）利用一元二次方程求根公式，将方程进行变换，即可得证推断正确．

解答 解：（1）根据题意推断：2x²+nx-$\frac{{n}^{2}}{2}$=0，（n∈N）的两根为x=$\frac{n（-1±\sqrt{5}）}{4}$，
显然当n=4时，两根为x=-1±$\sqrt{5}$，
故答案为：-1±$\sqrt{5}$．
（2）结合题意与（1）断定方程ax²+kbx+k²c=0的两根为kx₁，kx₂（k为正整数），
故答案为：ax²+kbx+k²c=0．
（3）证明：∵ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，
∴x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
对于方程ax²+kbx+k²c=0来说，
x=$\frac{-kb±\sqrt{{k}^{2}{b}^{2}-4a{k}^{2}c}}{2a}$=k$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$，
即若ax²+bx+c=0的两根为x₁，x₂，方程ax²+kbx+k²c=0的两根为kx₁，kx₂（k为正整数），
证毕．

点评 本题考查了一元二次方程求根公式的运用，解题关键在于先借助于（1）的规律，找对方程，再利用一元二次方程求根公式加以验证．