Question

【题目】如图1，菱形ABCD中，AB=10，连接BD，tan∠ABD= ，若P是射线BC上的一个动点（点P不与点B重合），连接AP，与对角线相交于点E，连接EC．

（1）求证：AE=CE；
（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，S△EPC=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△EPC是直角三角形，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中， ，

又∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE

∴AE=CE

（2）解：连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示：

垂足分别为点H、F．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∵AB=10，tan∠ABD= = ，

∴AO=OC=2 ，BO=OD=4 ，AC=4 ，BD=8 ，

∵ ACBD=BCAH，

∴AH=8，∴BH= =6．

∵AD∥BC

∴ ，

∴ ，

∴ = ，

∴ = ．

∵EF∥AH，

∴ ，

∴EF= ．

∴y= PC′EF= （10﹣x） = ，

即y═ ，（0＜x＜10）

（3）解：因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：

①当∠ECP=90°时

∵△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE=90°，

∵cos∠ABP= = ，即

∴BP= ．

②当∠CEP=90°时，

∵△ABE≌△CBE，

∴∠AEB=∠CEB=45°，

∴AO=OE=2 ，

∴ED=2 ，BE=6 ．

∵AD∥BP，

∴ ，

∴ ，

∴BP=30．

综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为 或30．

【解析】（1）根据菱形的性质得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出结论．
（2）连结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形的对角线互相垂直，得出AC⊥BD，利用解直角三角形求出AC，BD的长再根据菱形面积= ACBD=BCAH，得出AH=8，BH=6，由相似三角形的性质（平行线分线段成比例）得出比例式，求出EF的长，即可得出答案。
（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：①当∠ECP=90°时和②当∠CEP=90°时，通过证三角形全等和相似，由全等三角形的性质、相似三角形的性质即可得出答案。
【考点精析】关于本题考查的菱形的性质和平行线分线段成比例，需要了解菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例才能得出正确答案．