Question

3．如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线y=kx交线段DC于点F，连接EF，若AF平分∠DFE，则k的值为1或3．

Answer 1

分析 分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．

解答 解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE，

∵AF平分∠DFE，
∴DF=AG=2，
在RT△ADF和RT△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AG}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴RT△ADF≌RT△AGF（HL），
∴DF=FG，
∵点E是BC边的中点，
∴BE=CE=1，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴GE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{G}^{2}}$=1，
∴在RT△FCE中，EF²=FC²+CE²，即（DF+1）²=（2-DF）²+1，解得DF=$\frac{2}{3}$，
∴点F（$\frac{2}{3}$，2），
把点F的坐标代入y=kx得：2=$\frac{2}{3}$k，解得k=3；
②当点F与点C重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF平分∠DFE，
∴F（2，2），
把点F的坐标代入y=kx得：2=2k，解得k=1．
故答案为：1或3．

点评 本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理，及勾股定解题的关键是分两种情况求出k．