Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．

（1）依题意将图1补全；

（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）将图1补全见解析；

（2）证明见解析；

（3）数量关系：当点F在AC边上时， ；

当点F在AC延长线上时， ．

【解析】试题分析：（1）根据要求画出图形即可；（2）选择一种自己比较熟练的方法进行证明即可；（3）本题分点F在AC边上，点F在AC延长线上，两种情况分析即可.

试题解析：解：（1）如图1，

（2）

想法1证明：如图2，过D作DG∥AB，交AC于G，

∵点D是BC边的中点，

∴DG=AB．

∴△CDG是等边三角形．

∴∠EDB+∠EDG=120°．

∵∠FDG+∠EDG=120°，

∴∠EDB =∠FDG．

∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，

∴△BDE≌△GDF．

∴DE=DF．

想法2证明：如图3，连接AD，

∵点D是BC边的中点，

∴AD是△ABC的对称轴．

作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，

∴△ADE≌△ADP．

∴DE=DP，∠AED=∠APD．

∵∠BAC+∠EDF=180°，

∴∠AED+∠AFD=180°．

∵∠APD+∠DPF=180°，

∴∠AFD=∠DPF．

∴DP=DF．

∴DE=DF．

想法3证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，

∵点D是BC边的中点，

∴AD平分∠BAC．

∵DM⊥AB于M，DN⊥AB于N，

∴DM=DN．

∵∠A=60°，

∴∠MDE+∠EDN=120°．

∵∠FDN+∠EDN=120°，

∴∠MDE=∠FDN．

∴Rt△MDE≌Rt△NDF．

∴DE=DF．

（3）当点F在AC边上时， ；

当点F在AC延长线上时， ．