Question

【题目】如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，到达C点、B点后运动停止．

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）若AB＝BE，求∠DAE的度数；

拓展：若△ABD的外心在其内部时，求∠BDA的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；拓展：

【解析】

（1）由题意得BD=CE，得出BE=CD，证出AB=AC，由SAS证明△ABE≌△ACD即可；

（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BEA=∠EAB=70°，证出AC=CD，由等腰三角形的性质得出∠ADC=∠DAC=70°，即可得出∠DAE的度数；

拓展：对△ABD的外心位置进行推理，即可得出结论．

（1）证明：∵点D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上作等速运动，

∴BD=CE，

∴BC-BD=BC-CE，即BE=CD，

∵∠B=∠C=40°，

∴AB=AC，

在△ABE和△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）解：∵∠B=∠C=40°，AB=BE，

∴∠BEA=∠EAB=(180°-40°)=70°，

∵BE=CD，AB=AC，

∴AC=CD，

∴∠ADC=∠DAC=(180°-40°)=70°，

∴∠DAE=180°-∠ADC-∠BEA=180°-70°-70°=40°；

拓展：

解：若△ABD的外心在其内部时，则△ABD是锐角三角形．

∴∠BAD=140°-∠BDA＜90°．

∴∠BDA＞50°，

又∵∠BDA＜90°，

∴50°＜∠BDA＜90°．