Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q 作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．

(1)求点D到BC的距离；

(2)求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

(3)是否存在点P，使△PQR是以PQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；

（2）．

（3）当为或6或时，△PQR为等腰三角形．

【解析】

（1）根据△RQC∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例可求解DH；

（2）根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；

（3）画出图形，根据图形进行讨论：

① 当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC==，∴，即可求出x的值；

② 当PQ=RQ时，-x+6=，x=6；

③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=CE=AC=2．

（1），AB=6，AC=8，．

点D为AB中点，．

，．

，，

∴,

（2），，

，，

即关于的函数关系式为：．

（3）存在，分三种情况：

①如图（1），当时，过点P作于M，则．

，，．

，，

，

．

②如图（2），当时，

，

．

③如图（3），当时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，

．

，

，

．

综上所述，当为或6或时，△PQR为等腰三角形．