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【题目】某药厂销售部门根据市场调研结果,对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测,并建立如下模型:设第t个月该原料药的月销售量为P(单位:吨),P与t之间存在如图所示的函数关系,其图象是函数p=(0<t≤8)的图象与线段AB的组合;设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q(单位:万元),Q与t之间满足如下关系:

Q=

(1)当8<t≤24时,求P关于t的函数解析式;

(2)设第t个月销售该原料药的月毛利润为W(单位:万元).

①求W关于t的函数解析式;

②第几个月销售该原料药的月毛利润最大?对应的月销售量是多少?

【答案】(1)p=t+2;(2)①见解析;②第21个月, 529元.

【解析】

1)设8t≤24时,pkt+b,把A,B点代入即可解答.

2)①根据题意分情况进行讨论当0t≤8时,w240;当8t≤12时,w2t2+12t+16;当12t≤24时,w=﹣t2+42t+88;②分情况讨论:当8t≤12时,w2t+322t12时,取最大值,W448;当12t≤24时,w=﹣(t212+529,当t21时取得最大值529

解:

1)设8t≤24时,pkt+b

A810)、B2426)代入,得

,解得

∴当8t≤24时,P关于t的函数解析式为:pt+2

2)①当0t≤8时,w=(2t+8×240

8t≤12时,w=(2t+8)(t+2)=2t2+12t+16

12t≤24时,w=(﹣t+44)(t+2)=﹣t2+42t+88

综上所述,W关于t的函数解析式为:

②当8t≤12时,w2t2+12t+162t+322

8t≤12时,Wt的增大而增大

t12时,取最大值,W212+322448,

12t≤24时,w=﹣t2+42t+88=﹣(t212+529

12t≤24时,当t21时取得最大值,此时的最大值为529

∴第21个月销售该原料药的月毛利润最大,对应的月销售量是529.

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