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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2a≠0)与x轴交于A-10),B30)两点,与y轴交于点C,连接BC

1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;

2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CDBD,若∠DCB=CBD,求点D的坐标;

3)已知F11),若Exy)是抛物线上一个动点(其中1x2),连接CECFEF,求CEF面积的最大值及此时点E的坐标.

4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以BCMN为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=-x2+x+2;∴对称轴x=1;(2D1);(3)最大值是,此时E);(4M22)或M4-)或M-2-.

【解析】

1)将点A-10),B30)代入y=ax2+bx+2即可;

2)过点DDGy轴于G,作DHx轴于H,设点D1y),在RtCGD中,CD2=CG2+GD2=2-y2+1,在RtBHD中,BD2=BH2+HD2=4+y2,可以证明CD=BD,即可求y的值;

3)过点EEQy轴于点Q,过点F作直线FRy轴于R,过点EFPFRP,证明四边形QRPE是矩形,根据SCEF=S矩形QRPE-SCRF-SEFP,代入边即可;

4)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以BCMN为顶点的四边形是平行四边形,点M22)或M4-)或M-2-.

1)将点A-10),B30)代入y=ax2+bx+2

可得a=-b=

y=-x2+x+2

∴对称轴x=1

2)如图,过点DDGy轴于G,作DHx轴于H

设点D1y),

C02),B30),

∴在RtCGD中,CD2=CG2+GD2=2-y2+1

∴在RtBHD中,BD2=BH2+HD2=4+y2

BCD中,∵∠DCB=CBD

CD=BD

CD2=BD2

∴(2-y2+1=4+y2

y=

D1);

3)如图,过点EEQy轴于点Q,过点F作直线FRy轴于R,过点EFPFRP

∴∠EQR=QRP=RPE=90°

∴四边形QRPE是矩形,

SCEF=S矩形QRPE-SCRF-SEFP-SCQE

Exy),C02),F11),

SCEF=EQQR-×EQQC-CRRF-FPEP

SCEF=xy-1-xy-2-×1×1-x-1)(y-1),

y=-x2+x+2

SCEF=-x2+x

∴当x=时,面积有最大值是

此时E);

4)存在点M使得以BCMN为顶点的四边形是平行四边形,

N1n),Mxy),

①四边形CMNB是平行四边形时,

x=-2

M-2-);

②四边形CNBM时平行四边形时,

x=2

M22);

③四边形CNNB时平行四边形时,

x=4

M4-);

综上所述:M22)或M4-)或M-2-.

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(Ⅰ)根据题意,填写下表:

徒步登山时间/时间

2

3

4

5

甲距地面高度/

120

______

140

______

乙距地面高度/

30

60

______

______

(Ⅱ)请分别求出甲、乙两人徒步登山全程中,距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数关系式;

(Ⅲ)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米?

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(Ⅰ)根据题意填写下表:

学校一次购买树苗(棵)

10

15

20

40

在甲林场实际花费(元)

200

300

在乙林场实际花费(元)

200

370

710

(Ⅱ)学校在甲林场一次购买树苗,实际花费记为(元),在乙林场一次购买树苗,实际花费记为(元),请分别写出x的函数关系式;

(Ⅲ)当时,学校在哪个林场一次购买树苗,实际花费较少?为什么?

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