Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于F，则下列说法：①AE＝CF；②EC+CF＝4；③DE＝DF；④若△ECF面积为一个定值，则EF长也是一个定值，其中正确的结论是_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE＝CF；

②由①知，EC+CF＝EC+AE＝AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB＝8，由勾股定理可求出AC＝BC＝4；

③由①知DE＝DF；

④由△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CECF是一个定值，又EC+CF＝，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．

解：①连接CD．

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，

∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，

在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE＝CF．

∴①说法正确；

②∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，

∴AC＝BC＝4．

由①知AE＝CF，

∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．

∴②说法正确；

③由①知△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF．

∴③说法正确；

④∵△ECF的面积＝×CE×CF，如果这是一个定值，则CECF是一个定值，

又∵EC+CF＝，

∴可唯一确定EC与EF的值，

再由勾股定理知EF的长也是一个定值，

∴④说法正确．

故答案为：①②③④