Question

如图，已知抛物线y=﹣（x²﹣7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x﹣h）²+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；

（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．

Answer 1

    （1）解：∵y=﹣（x²﹣7x+6）=﹣（x²﹣7x）﹣3=﹣（x﹣）²+，

∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=﹣（x﹣）²+，

顶点M的坐标是（，）；

（2）解：∵y=﹣（x²﹣7x+6），

∴当y=0时，﹣（x²﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0时，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，

则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，

最小值为BC==3．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=﹣，

∴R点坐标为（，﹣）；

（3）证明：设点P坐标为（x，﹣x²+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，

∴NP=，

即（x﹣）²+（﹣x²+x﹣3）²=（）²，

化简整理得，x⁴﹣14x³+65x²﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x₁=1（与A重合，舍去），x₂=2，x₃=5（在对称轴的右侧，舍去），x₄=6（与B重合，舍去），

∴点P坐标为（2，2）．

∵M（，），N（，0），

∴PM²=（2﹣）²+（2﹣）²=，

PN²=（2﹣）²+2²==，

MN²=（）²=，

∴PM²+PN²=MN²，

∴∠MPN=90°，

∵点P在⊙N上，

∴直线MP是⊙N的切线．