Question

12．如图1，Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，DB=EB．显然可得结论AD=EC，AD⊥EC．
（1）阅读：当Rt△DBE绕点B逆时针旋转到图2的位置时，连接AD、CE．求证：AD=EC，AD⊥EC．
下面给出了小亮的证明过程，请你把小亮的证明过程填写完整：
∵∠ABC=∠EBD
∴∠ABC-∠ABE=∠EBD-∠ABE即∠EBC=∠DBA
在△EBC和△DBA中
 $\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠（）=∠（）}\\{BD=BE}\end{array}\right.$∠EBC=∠DBA
∴△EBC≌△DBA∴AD=EC，∠ECB=∠DAB∵∠ECB+∠ACE+∠CAB=90°
∴∠DAB+∠ACE+∠CAB=90°∴∠AKC=90°∴AD⊥EC
（2）类比：当Rt△DBE绕点B逆时针旋转90°得到图3时，连接AD、CE．问（1）中线段AD、EC间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展：当Rt△DBE绕点B逆时针旋转到图4时，连接AD、CE．请直接写出线段AD、EC间的数量关系和位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据证明过程直接填空即可；
（2）先证△ADB与△CBE全等，得出CE=AD，和∠ECB=∠DAB，延长CE交AD于点F，由于∠DAB与∠ADB互余，从而∠ECB也与∠ADB互余，从而得征；
（3）方法与（2）相同；

解答 解：（1）∵∠ABC=∠EBD
∴∠ABC-∠ABE=∠EBD-∠ABE即∠EBC=∠DBA
在△EBC和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠（EBC）=∠（DBA）}\\{BD=BE}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△DBA，
∴AD=EC，∠ECB=∠DAB，
∵∠ECB+∠ACE+∠CAB=90°
∴∠DAB+∠ACE+∠CAB=90°
∴∠AKC=90°，
∴AD⊥EC．
（2）成立．如图3，

延长CE交AD于F，
在△EBC和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBE=∠ABD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DBA，
∴AD=EC，∠ECB=∠DAB，
∵∠DAB+∠ADB=90°，
∴∠ECB+∠ADB=90°，
∴AD⊥EC；
（3）如图4，设CE、AD交于点F，

∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠CBE=∠ABD，
在△EBC和△DBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠CBE=∠ABD}\\{BE=BD}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△DBA，
∴AD=EC，∠CEB=∠ADB，
∵∠ADB+∠DFB=90°，
∴∠CEB+∠AFE=90°，
∴AD⊥EC．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和性质、图形的旋转等知识点，难度不大，是一道基础题．事实上，本题得出了一个结论，即：两个全等的三角形如果有一个组对应相互垂直，那么另外两组对应边也相互垂直，这一结论在一些大型题目中可直接应用，会起到简化过程的作用．