Question

18．如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点，求证：DF是AB的垂直平分线．

Answer 1

分析 连接AD，根据垂直平分线的性质得到AD=DC，由BD=CD，等量代换得到AD=BD，推出△ADF≌△BDF，根据全等三角形的性质得到∠AFD=∠BFD，然后根据平角的定义即可得到结论．

解答 证明：连接AD，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=DC，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AD=BD，
在△ADF与△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{DF=DF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDF，
∴∠AFD=∠BFD，
∵∠AFD+∠BFD=180°，
∴∠AFD=∠BFD=90°，
∴DF⊥AB，
∴DF是AB的垂直平分线．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．