Question

10．如图，⊙O的直径为8cm，∠B=30°，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD．
（1）求BC的长；
（2）求∠CAD的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，又由⊙O的直径为8cm，∠B=30°，即可求得答案；
（2）首先连接OD，由CD是∠ACB的角平分线，可求得∠BAD的度数，继而求得答案．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=8cm，∠B=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=4cm，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm；

（2）连接OD，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠AOB=90°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=45°，
∵∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=105°．

点评 此题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．