Question

1．平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（a$+\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”． 
（1）求点P（-2，3）的“2关联点”P′的坐标；
（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为（3，6），求出k及点P的坐标；
（3）如图，点Q的坐标为（0，4$\sqrt{3}$），点A在函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的图象上运动，且点A是点B的“-$\sqrt{3}$关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题中的新定义求出点P（-2，3）的“2关联点”P′的坐标即可；
（2）根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；
（3）根据题意得出A（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b），代入y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＜0），求得b=$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$，从而求得B在直线y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上，过Q作y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的垂线QB₁，垂足为B₁，Q（0，4$\sqrt{3}$），且线段BQ最短，B₁即为所求的B点，由△MB₁Q∽△MON 得$\frac{MQ}{MN}$=$\frac{{MB}_{1}}{MO}$=$\frac{{B}_{1}Q}{ON}$，由ON=2，OM=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理求得MN=4．由MQ=2$\sqrt{3}$，求得B₁Q=$\sqrt{3}$，MB₁=3，在Rt△MB₁Q中，根据面积公式得到B₁Q•MB₁=MQ•h_B1，即可求得B的坐标．

解答 解：（1）∵x=-2+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$，y=2×（-2）+3=-1，
∴P′（-$\frac{1}{2}$，-1）；

（2）设P（a，b），则P′（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）
∴$\left\{\begin{array}{l}a+\frac{b}{k}=3\\ ka+b=6\end{array}\right.$，
∴k=2，
∴2a+b=6．
∵a、b为正整数
∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）∵B的“-$\sqrt{3}$关联点”是A，
∴A（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$，-$\sqrt{3}$a+b），
∵点A还在反比例函数y=-$\frac{4\sqrt{3}}{x}$的图象上，
∴（-$\sqrt{3}$a+b）（a-$\frac{b}{\sqrt{3}}$）=-4$\sqrt{3}$，
∴（b-$\sqrt{3}$a）²=12，
∵b-$\sqrt{3}$a＞0，
∴b-$\sqrt{3}$a=2$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$；
∴B在直线y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$上．
过Q作y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$的垂线QB₁，垂足为B₁，
∵Q（0，4$\sqrt{3}$），且线段BQ最短，
∴B₁即为所求的B点，
由△MB₁Q∽△MON 得$\frac{MQ}{MN}$=$\frac{{MB}_{1}}{MO}$=$\frac{{B}_{1}Q}{ON}$，
∵ON=2，OM=2$\sqrt{3}$，
∴MN=4．
又∵MQ=2$\sqrt{3}$，
∴B₁Q=$\sqrt{3}$，MB₁=3
在Rt△MB₁Q中，B₁Q•MB₁=MQ•h_B1，
∴h_B1=$\frac{3}{2}$，
∴x_B1=$\frac{3}{2}$，
∴B（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$）．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一次函数的交点坐标，坐标与图形性质，弄清题中的新定义是解本题的关键．