Question

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．连结AF、BF．
（1）求tan∠ABF的值；
（2）如果CD=15，BE=10，sin∠DAE=

5

13

，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，首先求出∠AOF=60°，借助圆周角定理的推论问题即可解决．
（2）如图，作辅助线，根据题意，借助字母λ分别表示出EF、GE等的线段长，运用相交弦定理列出关于字母λ的方程，求出λ问题即可解决．

解答：解：（1）如图，连接OF；
∵DF⊥AO，且AD=OD，OF=OA，
∴OD=

1

2

OF，
∴∠DFO=30°，∠DOF=90°-30°=60°；
∴∠ABF=

1

2

×60°=30°，
∴sin∠ABF=

1

2

．
（2）如图，延长FD交⊙O于点G；
∵sin∠DAE=

DE

AE

=

5

13

，
∴设DE=5λ，则AE=13λ；
由勾股定理得：
AD²=（13λ）²-（5λ）²=144λ²，
∴AD=12λ，
∴OF=2AD=24λ，
由勾股定理得：
DF²=OF²-OD²=（24λ）²-（12λ）²
∴DF=12

3

λ，
∴GE=12

3

λ+5λ，EF=12

3

λ-5λ；
由相交弦定理得：AE×BE=GE×EF，
∴13λ×10=（12

3

λ+5λ）（12

3

λ-5λ），
解得：λ=

130

407

，
∴⊙O的半径=24λ=

3120

407

．

点评：该题以圆为载体，以圆周角定理及其推论、直角三角形的边角关系、勾股定理、相交弦定理等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．