Question

【题目】如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．

（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；

（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点；

（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交于G点，若BC＝4，BE＝3，则＝　 　（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或

【解析】

(1)证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；

(2)作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；

(3)过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．

(1)∵FD⊥AC，

∴∠FDA=90°，

∴∠DFA+∠DAF=90°，

∠CAE+∠DAF=90°，

∴∠DFA=∠CAE，

在△AFD和△EAC中，

，

∴△AFD≌△EAC(AAS)，

∴DF=AC，

∵AC=BC，

∴FD=BC；

(2)作FD⊥AC于D，

由(1)得，FD=AC=BC，AD=CE，

在△FDG和△BCG中，

，

∴△FDG≌△BCG(AAS)，

∴DG=CG=1，

∴AD=2，

∴CE=2，

∵BC=AC=AG+CG=4，

∴E点为BC中点；

(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，

BC=AC=4，CE=CB+BE=7，

由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE=7，

∴，

∴，

当点E在线段BC上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，

BC=AC=4，CE=CB-BE=1，

由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，

∴CG=GD，AD=CE=1，

∴，

∴，

故答案为：或．