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【题目】 如图,AB⊙O的直径,C⊙O上一点,过点B作经过点C的直线CD的垂线,垂足为E(即BE⊥CD),BE⊙O于点F,且BC平分∠ABE

1)求证:CD⊙O的切线;

2)若AB=10CE=4,求线段EF的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)EF=2.

【解析】

1)连接OC,证CD⊥OC即可,因为BE⊥CD,所以只要证OC∥BE即可,而根据等边对等角,以及角平分线的定义,即可证得∠OCB=∠EBC,则OC∥BE;(2)连接AC,△ABC∽△CBE,AC=x,,由勾股定理可得,由图知ACBC,所以,BC=BE=8,由切割线定理可求出EF.

解:(1)连接OC∵OC=OB

∴∠ABC=∠OCB

∵∠EBC=∠ABC

∴∠OCB=∠EBC

∴OC∥BE

∵BE⊥CD

∴OC⊥CD

∴CD⊙O的切线;

2)连接AC,因为AB是直径,所以∠ACB90°

BC平分∠ABE所以△ABC∽△CBE

AC=x,所以,

由勾股定理可得,由图知ACBC,所以,BC=BE=8

由切割线定理得:,所以,

所以EF=2.

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