【题目】 如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点B作经过点C的直线CD的垂线,垂足为E(即BE⊥CD),BE交⊙O于点F,且BC平分∠ABE.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)若AB=10,CE=4,求线段EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)EF=2.
【解析】
(1)连接OC,证CD⊥OC即可,因为BE⊥CD,所以只要证OC∥BE即可,而根据等边对等角,以及角平分线的定义,即可证得∠OCB=∠EBC,则OC∥BE;(2)连接AC,则△ABC∽△CBE,设AC=x,,由勾股定理可得,由图知AC<BC,所以,BC=,BE=8,由切割线定理可求出EF.
解:(1)连接OC.∵OC=OB,
∴∠ABC=∠OCB,
又∵∠EBC=∠ABC,
∴∠OCB=∠EBC,
∴OC∥BE,
∵BE⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)连接AC,因为AB是直径,所以∠ACB=90°
又BC平分∠ABE所以△ABC∽△CBE
设AC=x,所以,
由勾股定理可得,由图知AC<BC,所以,BC=,BE=8
由切割线定理得:,所以,
所以EF=2.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD于点E,DA平分∠BDE
(Ⅰ)求证:AE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若∠DBC=30°,DE=1 cm,求BD的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,ABCD的边AB在x轴上,顶点D在y轴的正半轴上,点C在第一象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处,点B恰好为OE的中点,DE与BC交于点F.若y(k≠0)图象经过点C,且S△BEF=1,则k的值为________.
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【题目】盒中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.
(1)从盒中随机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是,写出表示x和y关系的表达式.
(2)往盒中再放进10枚黑棋,取得黑棋的概率变为,求x和y的值.
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【题目】如图,已知⊙O 的半径长为2,点C为直径AB的延长线上一点,且BC=2.过点C任作一条直线l.若直线l上总存在点P,使得过点P所作的⊙O 的两条切线互相垂直,则∠ACP的最大值等于__________°.
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【题目】不透明的袋子中装有3个红球和2个绿球,它们除颜色外无其它差别.
(1)随机摸出一个球后,放回并摇匀,再随机摸出一个球,用列表或画树状图的方法求出所有等可能的结果;
(2)同时摸出两个球,直接写出“摸出的两个球都是红球”的概率是 .
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【题目】如图,一次函数y=﹣2x+8与反比例函数(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点,与x轴交于D点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)在第一象限内,根据图象直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
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【题目】胜利中学从全校学生中随机选取一部分学生,对他们每周上网的时间t进行调查,调查情况分为:小时;小时小时;小时小时;小时四种,并将统计结果制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中信息解答下列问题:
求参加调查的学生的人数;
求扇形图中组扇形的圆心角度数,并通过计算补全条形统计图;
在所调查的学生中,随机选取一名学生,求他每周上网时间大于小时的概率.
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【题目】定义:在平面直角坐标系中,我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.若抛物线y=ax2﹣2ax+a+3与x轴围成的区域内(不包括抛物线和x轴上的点)恰好有8个“整点”,则a的取值范围是_____.
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