Question

【题目】已知等腰RtABC与等腰RtCDE，∠ACB=∠DCE=90°.把RtABC绕点C旋转.

（1）如图1，当点A旋转到ED的延长线时，若，BE=5，求CD的长；

（2）当RtABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG.

Answer 1

【答案】（1）； (2)见解析.

【解析】（1）根据旋转的性质，得到∠ADC=∠BEC=135°，进而得到∠AEB=90°，再根据勾股定理以及AD的长，即可得出DE=7，最后根据等腰Rt△CDE，运用勾股定理得到CD的长；

（2）过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，再根据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠CAE=∠BCD，再判定△BCD≌△CAH（ASA），得出AH=CD=CE，BD=CH，再判定四边形ACEH是平行四边形，即可得到CH=2CG，进而得出BD=2CG．

（1）如图1，

∵△ADC是由△BEC绕点C旋转得到的，

∴AD=BE=5，∠ADC=∠BEC，

∵在等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE中，BC=AC=，∠EDC=∠DEC=45°，

∴AB=13，∠ADC=∠BEC=135°，

∴∠AEB=90°，

∴AE==12，

∴DE=7，

∴等腰Rt△CDE中，CD=DE=；

（2）如图2，过点A作AH∥CE，交CG的延长线于H，连接HE，则∠CAH+∠ACE=180°，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠BCD+∠ACE=180°，

∴∠CAE=∠BCD，

∵CF⊥BD，∠ACB=90°，

∴∠CBF+∠BCF=∠ACG+∠BCF=90°，

∴∠CBF=∠ACG，

在△BCD和△CAH中，

，

∴△BCD≌△CAH（ASA），

∴AH=CD=CE，BD=CH，

又∵AH∥CE，

∴四边形ACEH是平行四边形，

∴CH=2CG，

∴BD=2CG．