Question

19．如图，四边形ABCD是菱形，点F在CD上，点E在BC的延长线上，连接AE、BF交于点H，∠AHB=∠D，△ABE的周长为54，CF=11，BF=20，则CE的长为8．

Answer 1

分析 根据四边形ABCD是菱形，到底AD∥BC，由平行线的性质得到∠D=∠DCE，等量代换得到∠AHB=∠D，根据三角形的外角的性质得到∠1=∠BCF得到∠2=∠3，由于∠4=∠4，推出△BCF∽△BHE，由相似三角形的性质得到$\frac{BC}{BH}=\frac{CF}{HE}=\frac{BF}{BE}$，①即$\frac{11}{HE}=\frac{20}{BE}$，求得HE=$\frac{11}{20}$BE，通过△BAH∽△EAB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AE}=\frac{BH}{BE}=\frac{AH}{AB}$，②于是得到AB²=AE•AH，③由①得$\frac{BC}{BF}=\frac{BH}{BE}$，推出$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{BF}$求得BE=34-AB，AH=20-HE=20-$\frac{11}{20}$BE=20-$\frac{11}{20}$（34-AB），由③得；AB²=20×[20-$\frac{11}{20}$（34-AB）]=400-11×34+AB×11，求得AB²-11AB-26=0，于是得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵∠AHB=∠D，
∴∠1=∠BCF，
∴∠1=∠2+∠4=∠3+∠4，
∴∠2=∠3，
∵∠4=∠4，
∴△BCF∽△BHE，
∴$\frac{BC}{BH}=\frac{CF}{HE}=\frac{BF}{BE}$，①
即：$\frac{11}{HE}=\frac{20}{BE}$，
∴HE=$\frac{11}{20}$BE，
∵∠1=∠D=∠ABC，
∴∠BAH=∠BAE，
∴△BAH∽△EAB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BH}{BE}=\frac{AH}{AB}$，②
∴AB²=AE•AH，③
由①得：$\frac{BC}{BF}=\frac{BH}{BE}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{BF}$，
∵AB=BC，
∴BF=AE=20，
∴AB+BE=54-20=34，
∴BE=34-AB，AH=20-HE=20-$\frac{11}{20}$BE=20-$\frac{11}{20}$（34-AB），
由③得；AB²=20×[20-$\frac{11}{20}$（34-AB）]=400-11×34+AB×11，
∴AB²-11AB-26=0，
∴AB=13，
∴BE=34-13=21，
∴CE=21-13=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．