Question

14．已知，如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD垂直于经过点C的直线DE，垂足为点D，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接BC，猜想：∠ECB与∠CAB的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠ACO=∠DAC，证出AD∥OC，再由已知条件得出OC⊥DE，即可得出直线DE是⊙O的切线；
（2）由圆周角定理得出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠B=90°，得出∠ECB+∠BCO=90°，由等腰三角形的性质得出∠B=∠BCO，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OC，如图1所示：
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠ACO=∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴OC⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2所示：∠ECB=∠CAB，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵OC⊥DE，
∴∠ECB+∠BCO=90°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO，
∴∠ECB=∠CAB．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、圆周角定理；熟练掌握切线的判定方法，由等腰三角形的性质得出角相等是解决问题的关键．