Question

如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（1）求证：∠GAE=45°；
（2）若AB=6，且CD=3DE，请说明此时BG=CG．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）证明△ABG≌△AFG，得到∠BAG=∠FAG，借助∠DAE=∠FAE即可解决问题．
（2）证明BG=GF（设为λ），得到CG=6-λ；求出DE=2，得到CE=4，EF=DE=2；借助勾股定理得到（λ+2）²=（6-λ）²+4²，求出λ，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°；
由题意得：∠AFE=∠D=90°，
∠DAE=∠FAE，AF=AD，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°；
在△ABG与△AFG中，

AB=AF ∠B=∠AFG AG=AG

，
∴△ABG≌△AFG（SAS），
∴∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=

1

2

∠BAD=45°．
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG=GF（设为λ），CG=6-λ；
∵CD=AB=6，CD=3DE，
∴DE=2，CE=4，EF=DE=2；
由勾股定理得：GE²=CG²+CE²，
即（λ+2）²=（6-λ）²+4²，
解得：λ=3，
∴CG=6-3=3，
∴BG=CG．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．