Question

【题目】如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＞0；③a＜﹣1；④b2+8a＞4ac．其中正确的有：____（填写序号）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

首先根据抛物线的开口方向得到a＜0，抛物线交y轴于正半轴，则c＞0，而抛物线与x轴的交点中，﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x＝＞﹣1，根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断；

由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x＝＞﹣1，且c＞0．

①由图可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，故①正确；

②已知x＝＞﹣1，且a＜0，所以2a﹣b＜0，故②不正确；

③已知抛物线经过（﹣1，2），即a﹣b+c＝2（1），由图知：当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），由①知：4a﹣2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a﹣c＜﹣4；故3a＜﹣3，即a＜﹣1；所以③正确；

④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，

由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；

因此正确的结论是①③④．

故答案为①③④．