【题目】如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,当点E从B点出发顺时针运动到D点时,点F经过的路径长为______.
【答案】
【解析】
连接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂径定理得到O为AB的中点,由G的坐标确定出OG的长,在直角三角形AOG中,利用勾股定理求出AO的长,进而确定出AB的长,由CG+GO求出OC的长,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CO⊥AE,此时F与O重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACO中,利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长.
连接AC,AG.
∵GO⊥AB,∴O为AB的中点,即AO=BOAB.
∵G(0,1),即OG=1,∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:AO,∴AB=2AO=2,又CO=CG+GO=2+1=3,∴在Rt△AOC中,根据勾股定理得:AC.
∵CF⊥AE,∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,当E位于点B时,CO⊥AE,此时F与O重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长.在Rt△ACO中,tan∠ACO,∴∠ACO=30°,∴度数为60°.
∵直径AC=2,∴的长为π,则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长π.
故答案为:π.
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【题目】由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘,如果一个转盘转出了红色,另一转盘转出了蓝色,游戏者就配成了紫色下列说法正确的是( )
A. 两个转盘转出蓝色的概率一样大
B. 如果A转盘转出了蓝色,那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C. 先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘,游戏者配成紫色的概率不同
D. 游戏者配成紫色的概率为
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【题目】对于一元二次方程,下列说法:①若a+c=0,方程有两个不等的实数根;②若方程有两个不等的实数根,则方程也一定有两个不等的实数根;③若c是方程的一个根,则一定有成立;④若m是方程的一个根,则一定有成立.其中正确地只有 ( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
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【题目】如图,己知正方形ABCD的边长为4, P是对角线BD上一点,PE⊥BC于点E, PF⊥CD于点F,连接AP, EF.给出下列结论:①PD=EC:②四边形PECF的周长为8;③△APD一定是等腰三角形:④AP=EF;⑤EF的最小值为;⑥AP⊥EF.其中正确结论的序号为( )
A. ①②④⑤⑥B. ①②④⑤
C. ②④⑤D. ②④⑤⑥
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【题目】甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:
甲:8,8,7,8,9
乙:5,9,7,10,9
(1)填写下表:
平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | 8 | | 8 | 0.4 |
乙 | | 9 | | 3.2 |
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么?
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差 .(填“变大”、“变小”或“不变”).
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【题目】如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,连接AC、FC.
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动;同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动,设运动时间为t s.问:
(1)几秒后△PBQ的面积等于8 cm2?
(2)是否存在t,使△PDQ的面积等于26 cm2?
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE,AF的长.
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【题目】有4张正面分别标有数字的不透明卡片,它们除数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将卡片上的数字记为,另有一个被均匀分成4份的转盘,上面分别标有数字,转动转盘,指针所指的数字记为(若指针指在分割线上则重新转一次),则点落在抛物线与轴所围成的区域内(不含边界)的概率是__________.
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