Question

16．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D点，且BC=1，求AB的长．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算出图中各角的度数，易得AD=BD=BC，再证明△ABC∽△BCD，根据相似的性质得AC：BC=BC：CD，则AC：AD=AD：CD，然后根据黄金分割点的定义计算．

解答 解：∵AB=AC=2，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CD}$，
即$\frac{AB}{1}=\frac{1}{AC-1}$
∵AB=AC，
∴$\frac{AB}{1}=\frac{1}{AB-1}$，
∴AB²-AB-1=0，
解关于AB的一元二次方程得：AB=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（舍去负值）．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．