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【题目】如图,在正方形ABCD中,EF分别是BCCD上的点,且∠EAF45°AEAF分别交BDMN,连按ENEF、有以下结论:①ANEN,②当AEAF时,2,③BE+DFEF,④存在点EF,使得NFDF,其中正确的个数是(  )

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】B

【解析】

①如图1,证明AMN∽△BMEAMB∽△NME,可得∠NAE=AEN=45°,则AEN是等腰直角三角形可作判断;
②先证明CE=CF,假设正方形边长为1,设CE=x,则BE=1-x,表示AC的长为AO+OC可作判断;
③如图3,将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABH,证明AEF≌△AEHSAS),则EF=EH=BE+BH=BE+DF,可作判断;
④在ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小.

①如图1

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD45°

∵∠MAN=∠EBM45°,∠AMN=∠BME

∴△AMN∽△BME

∵∠AMB=∠EMN

∴△AMB∽△NME

∴∠AEN=∠ABD45°

∴∠NAE=∠AEN45°

∴△AEN是等腰直角三角形,

ANEN

故①正确;

②在ABEADF中,

RtABERtADFHL),

BEDF

BCCD

CECF

假设正方形边长为1,设CEx,则BE1x

如图2,连接AC,交EFH

AEAFCECF

ACEF的垂直平分线,

ACEFOEOF

RtCEF中,OCEFx

EAF中,∠EAO=∠FAO22.5°=∠BAE22.5°

OEBE

AEAE

RtABERtAOEHL),

AOAB1

ACAO+OC

1+x

x2

故②不正确;

③如图3

∴将ADF绕点A顺时针旋转90°得到ABH,则AFAH,∠DAF=∠BAH

∵∠EAF45°=∠DAF+BAE=∠HAE

∵∠ABE=∠ABH90°

HBE三点共线,

AEFAEH中,

∴△AEF≌△AEHSAS),

EFEHBE+BHBE+DF

故③正确;

ADN中,∠FND=∠ADN+NAD45°

FDN45°

DFFN

故存在点EF,使得NFDF

故④不正确;

故选B

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A.B.C.D.

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