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【题目】如图,△ABC内接于⊙OAB是⊙O的直径,ACCE,连接AEBC于点D,延长DCF点,使CFCD,连接AF

1)判断直线AF与⊙O的位置关系,并说明理由.

2)若AC10tanCAE,求AE的长.

【答案】1)直线AF是⊙O的切线,见解析;(2AE16.

【解析】

1)根据全等三角形的判定和性质可得∠CAF=∠EAC,再根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线;

2)等腰三角形ACE中,两腰AC=CE=10,且已知底角正切值,过点CCMAE,底边长AE可以求出来.

解:(1)直线AF是⊙O的切线,理由是:

AB为⊙O直径,

∴∠ACB90°

ACBC

又∵CFCD

∴根据全等三角形的判定(HL)可知△ADC与△AFC是全等三角形,

∴根据全等三角形的性质可得∠CAF=∠EAC

ACCE

∴∠E=∠EAC

∵∠B=∠E

∴∠B=∠FAC

∵∠B+BAC90°

∴∠FAC+BAC90°

OAAF

又∵点A在⊙O上,

∴直线AF是⊙O的切线;

2)过点CCMAE

tanCAE

AC10

∴设CM3x,则AM4x

RtACM中,根据勾股定理,CM2+AM2AC2

∴(3x2+4x2100

解得x2

AM8

ACCE

AE2AM2×816

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