【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC=CE,连接AE交BC于点D,延长DC至F点,使CF=CD,连接AF.
(1)判断直线AF与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=10,tan∠CAE=,求AE的长.
【答案】(1)直线AF是⊙O的切线,见解析;(2)AE=16.
【解析】
(1)根据全等三角形的判定和性质可得∠CAF=∠EAC,再根据切线的判定定理即可得到直线AF是⊙O的切线;
(2)等腰三角形ACE中,两腰AC=CE=10,且已知底角正切值,过点C作CM⊥AE,底边长AE可以求出来.
解:(1)直线AF是⊙O的切线,理由是:
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
又∵CF=CD,
∴根据全等三角形的判定(HL)可知△ADC与△AFC是全等三角形,
∴根据全等三角形的性质可得∠CAF=∠EAC,
∵AC=CE,
∴∠E=∠EAC,
∵∠B=∠E,
∴∠B=∠FAC,
∵∠B+∠BAC=90°,
∴∠FAC+∠BAC=90°,
∴OA⊥AF,
又∵点A在⊙O上,
∴直线AF是⊙O的切线;
(2)过点C作CM⊥AE,
∵tan∠CAE=,
∴,
∵AC=10,
∴设CM=3x,则AM=4x,
在Rt△ACM中,根据勾股定理,CM2+AM2=AC2,
∴(3x)2+(4x)2=100,
解得x=2,
∴AM=8,
∵AC=CE,
∴AE=2AM=2×8=16.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证:CD=HF;
(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF长.
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【题目】阅读与探究
请阅读下列材料,完成相应的任务:幻方:将若干个数组成一个正方形数阵,若任意一行,一列及对角线上的数字之和都相等,则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”.中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等,例如,图1是一个三阶幻方,是将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入到3x3的方格中得到的,其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等,我们称这种幻方为“数字连续型三阶幻方”.
任务:(1)观察图1中三阶幻方中间的数字与9个数的和,可以发现二者有确定的数量关系.设“数字连续型三阶幻方中间的数字是x,幻方中9个数的和为s,则s与x之间的数量关系为 ;
(2)现要用9个数3,4,5,6,7,8,9,10,11构造一个三阶幻方.请将构造的幻方填写在图2的3×3方格中;
(3)某学习小组同学在研究图1的三阶幻方时,发现任何一个角上的数都有两个数与其不在同一行、列及对角线上,并且它们之间存在一个等量关系.为此该小组同学绘制了图3,请你用图3中的字母m,a,b表示他们发现的这个等量关系.(直接写出,不必证明)
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,AE、AF分别交BD于M、N,连按EN、EF、有以下结论:①AN=EN,②当AE=AF时,=2﹣,③BE+DF=EF,④存在点E、F,使得NF>DF,其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;
(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】周末,小李从家里出发骑车到少年宫学习绘画,学完后立即回家,他离家的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系如图所示,有下列结论:①他家离少年宫30km;②他在少年宫一共停留了3h;③他返回家时,离家的距离y(km)与时间x(h)之间的函数表达式是y=-20x+110;④当他离家的距离y=10时,时间x=.其中正确的是________(填序号).
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【题目】只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.我国数学家陈景润哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都表示为两个素数的和”.如20=3+17.
(1)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取一个,则抽到的数是7的概率是 ;
(2)从7、11、19、23这4个素数中随机抽取1个数,再从余下的3个数中随机抽取1个数,用画树状图或列表的方法,求抽到的两个素数之和等于30的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直角△AOB的OA边在x轴上,OB边在y轴上,且OA=6,OB=8.沿直线AM将△ABM折叠,点B正好落在x轴上,则直线AM的解析式为_____.
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