Question

18．如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=$\frac{1}{2}$BC．
（1）求证：∠BAC=90°；
（2）此题的结论实际上是直角三角形的一种判定方法，请你用文字语言叙述出来；
（3）直接运用上面的结论解答下列题目：一个三角形一边长为2，这条边上的中线长为1，另两边之和为1+$\sqrt{3}$，求这个三角形的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意易证AD=BD=DC，所以△ADB和△ADC都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可证明∠BAC=90°；
（2）根据直角三角形的判定定理即可得出结论；
（3）设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，根据勾股定理可求出ab与a+b的值，再根据直角三角形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AD=$\frac{1}{2}$BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=DC，
∴△ADB和△ADC都是等腰三角形
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
即∠BAC=90°；
（2）根据题意用语言表述为：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（3））因为这个三角形的一条边上的中线长是这条边长的一半，所以这个三角形是直角三角形．           
设这个直角三角形的两条直角边的长分别为a、b，则a+b=1+$\sqrt{3}$
根据勾股定理，得a²+b²=2²，即a²+b²=4，
∵（a+b）²=a²+b²+2ab，即（1+$\sqrt{3}$）²=4+2ab，
∴ab=$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴这个三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．