Question

15．已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2015}{a+b+c}$，求$\frac{（b+c）}{a}$•$\frac{（c+a）}{b}$•$\frac{（a+b）}{c}$的值．

Answer 1

分析 根据已知条件可以得$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$=2012，原式也可以化简为2+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a}$由此即可计算．

解答 解：原式=$\frac{（bc+ab+{c}^{2}+ac）（a+b）}{abc}$
=$\frac{abc+{a}^{2}b+a{c}^{2}+{a}^{2}c+{b}^{2}c+a{b}^{2}+b{c}^{2}+abc}{abc}$
=1+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a}$+1
=2+$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{a}$
∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{2015}{a+b+c}$，
∴$\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}$=2015，
∴1+$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{b}+1$+$\frac{c}{b}$+$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$+1=2015，
∴$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}$=2012，
∴原式=2014．

点评 本题考查分式化简求值，利用整体代入的思想是解题的关键，易错的地方就是3个多项式相乘时容易发生错误．